1.Стереометрия.
Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве. Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «стереос» ‑ объёмный, пространственный и «метрео» ‑ измерять. Простой в стереометрии фигурой является плоскость. Три точки, не лежащие на одной прямой, в пространстве задают плоскость. Поэтому плоскость достаточно назвать тремя точками, не лежащими на одной прямой. Например, плоскость ABC или (ABC). Можно и одной буквой.
2.Аксиомы стереометрии.
1.Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
2.Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (прямая лежит в этой плоскости).
Из аксиомы следует, что если прямая имеет не более
одной общей точки с плоскостью, то она не принадлежит этой плоскости. Если
прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то они пересекаются.
В этом случае говорят, что плоскости пересекаются по прямой.
На рис. 1 плоскости α и β пересекаются по прямой a.
Записывают это обычно так: α∩β=a.
3.Некоторые следствия из аксиом.
плоскость, и притом только одна.Дано: прямая a, точка M, M не принадлежит прямой a (Рис. 2).
Док-ть, что через прямую a и точку M проходит единственная плоскость.
Анализ: требуется доказать, что есть такие три точки, которые задают эту единственную плоскость.
Док-во. Отметим на прямой a точки B и C. Точки B, C, M не лежат на одной прямой. Согласно первой аксиоме через эти три точки проходит какая-то плоскость α. Так как две точки прямой a лежат в этой плоскости, то по второй аксиоме следует, что вся прямая a принадлежит плоскости α. Единственность плоскости доказывает первая аксиома.
1.Параллельные прямые.
Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Теорема. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
2.Параллельность прямых.
Лемма. Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.
Дано:
параллельные прямые a и b, прямая a
пересекает плоскость α в точке C.
Доказать, что прямая b также пересекает плоскость α.
Анализ: нужно доказать, что есть только одна общая точка у прямой b и плоскости α.
Доказательство. Пусть плоскостью β будет плоскость, в которой лежат параллельные прямые a и b. Тогда плоскости α и β пересекутся по прямой, например, c (См. рис. 3), так как они имеют общую точку C (По третьей аксиоме). Эта прямая c лежит в плоскости β и пересекает прямую a в точке C. А если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересечёт и другие прямые (из планиметрии), поэтому прямая c пересекает и прямую b в точке E. Так как прямая c принадлежит и плоскости α, и плоскости β (плоскости пересекаются по этой прямой), то точка E лежит в этих плоскостях. Получается, что плоскость α и прямая b пересекаются в точке E, то есть они имеют общую точку E. Докажем, что такая точка одна. Если бы прямая b пересекала плоскость α ещё в какой-то точке, то она бы имела с этой плоскостью две общие точки, то есть целиком лежала бы в ней. Но она лежит в плоскости β, поэтому плоскости α и β пересеклись бы по прямой b. Но плоскости пересекаются по прямой c, что противоречит нашему предположению. Поэтому прямая b пересекает плоскость α только в точке E. Лемма доказана.
Теорема. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
Дано: прямые
a,b,c. a║c, b║c (Рис. 4).
Доказать, что a║b.
Анализ: нужно доказать, прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Доказательство. Отметим точку D на прямой a и обозначим буквой α плоскость, проходящую через прямую b и точку D. Если допустить, что прямая a пересекает плоскость α, то по предыдущей лемме прямая c также пересечет эту плоскость, а так как c║b, то прямая b пересечет плоскость α, но этого быть не может, потому что прямая b лежит в плоскости α. Значит, прямая a принадлежит плоскости α. Таким образом, прямые a и b лежат в одной плоскости.
Прямые a и b не пересекаются, так как если бы они пересекались, то у них была бы общая точка (точка пересечения) и они бы имели общую параллельную им прямую, чего быть не может. Теорема доказана.